Завдання на період з 16.05 по 20.05

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 18.05 Тема уроку :

"Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики."

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=e2-kUlMVnDM

Опрацювати матеріал :

Домашнє завдання : № 25.402, 25.403, 25.404

Дата 16.05 Тема уроку :

"Інтеграл та його застосування."

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=4YehcNQQdcE

Опрацювати матеріал :

Таблиця основних інтегралів
1)∫xαdx=xα+1α+1+C(α≠−1)2)∫dxx=ln|x|+C3)∫dx1+x2=arctgx+C4)∫dx1−x2−−−−−√=arcsinx+C5)∫axdx=axlna+C6)∫exdx=ex+C7)∫sinxdx=−cosx+C8)∫cosxdx=sinx+C9)∫dxcos2x=tgx+C10)∫dxsin2x=−ctgx+C11)∫dxx2−a2=12aln∣∣x−ax+a∣∣+C(a≠0)12)∫dxx2+k−−−−−√=ln∣∣x+x2+k−−−−−√∣∣+C13)∫dxx2+a2=1aarctgxa+C14)∫dxa2−x2−−−−−−√=arcsinxa+C

Припустимо, що на площині xОy дано фігуру, яку обмежує пряма Ox, прямі x=a,
x=b і графік невід'ємної функції f(x) на проміжку[a,b].

Площу цієї фігури можна обчислити, використовуючи формулу S=F(b)−F(a), де F(x) є первісною функції f(x), тобто F'(x)=f(x).
Приклад:
1) Обчисли площу фігури, обмеженої графіком функції f(x)=x2 на проміжку [1,2].
Розв'язання
Для функції f(x)=x2 однією з первісних є функція F(x)=x33. Тоді шукана площа
S=F(2)−F(1)=233−133=73

2) Обчисли площу фігури, обмеженої графіком функції y=lnx на проміжку [1,2].

Розв'язання

Спочатку знаходиться первісна даної функції (використовується метод інтегрування частинами).

∫lnxdx=[u=lnxdv=1du=dxxv=x]=∫udv=uv−∫vdu==lnx⋅x−∫(x⋅1x)dx=xlnx−∫dx=xlnx−x+C

Отже:

первісна функції — F(x)=xlnx−x;

значення площі — S=F(2)−F(1)=(2ln2−2)−(1ln1−1)=2ln2−1.

Домашнє завдання : № 25.400(1-4)

Завдання на період з 09.05 по 13.05

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 11.05 Тема уроку :

"Похідна функції. Застосування похідної до дослідження функцій."

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=KbxwehihPPk

Формулами диференціювання називають формули для знаходження похідних конкретних функцій, наприклад:
(C)'=0,деC−постійна величинаx′=1(kx+m)′=k(x2)′=2x(1x)′=−1x2(x−−√)′=12x−−√(xa)'=axa−1(ex)'=ex(sinx)'=cosx(cosx)'=−sinx(tgx)'=1cos2x(ctgx)'=−1sin2x(arcsinx)'=11−x2−−−−−√(arccosx)'=−11−x2−−−−−√(arctgx)'=11+x2(arcctgx)'=−11+x2

Теорема 1.
Якщо функції y=f(x) і y=g(x) мають похідну в точці x, тоді і їх сума має похідну в точці x, причому похідна суми дорівнює сумі похідних:
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)
Теорема 2.
Якщо функція y=f(x) маює похідну в точці x, тоді і функція y=kf(x) має похідну в точці x, причому:
(kf(x))′=kf′(x)
Теорема 3.
Якщо функції y=f(x) і y=g(x) мають похідну в точці x, тоді і їх добуток має похідну в точці x, причому:
(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)
На практиці цю теорему формулюють так:
похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох доданків; перший доданок є добуток похідної першої функції на другу функцію, а другий доданок є добуток першої функції на похідну другої функції.
Якщо функції y=f(x) і y=g(x) мають похідну в точці x і в цій точці g(x)≠0, тоді і функція y=f(x)g(x) має похідну в точці x, причому:
(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g2(x)

(k1u+k2v)'=k1u'+k2v'(uv)'=u'v+uv'(uv)'=u'v−uv'v2
Домашнє завдання : № 25.377(1-6)

Дата 09.05 Тема уроку :

"Логарифмічні рівняння та нерівності"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=joNOMMcr3SM

Рівняння, що містять змінну під знаком логарифма (в основі логарифма), називаються логарифмічними.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду
logax=b, де основа a>1,a≠1,
а вираз, що стоїть під знаком логарифма, x>0.
Для будь-якого дійсного b це рівняння має єдиний розв'язок x=ab
Приклад:
Розв'язати рівняння
log2x=3
Розв'язок.
Спочатку знаходимо область допустимих значень (ОДЗ): x>0,
оскільки під знаком логарифма повинен бути додатний вираз.

Для розв'язання даного рівняння, достатньо скористатися означенням логарифма, тобто подати число x, як степінь основи 2 логарифма, причому показник степеня дорівнює 3.
log2x=3x=23x=8

Знайдене значення належить ОДЗ, отже, є коренем рівняння.
Відповідь: x=8
Приклад:
Розв'язати рівняння log3(x2+72)=4
Розв'язок. ОДЗ: x2+72>0⇒x∈R
За визначенням логарифма отримуємо
x2+72=34x2+72=81x2+72−81=0x2−9=0(x−3)(x+3)=0⇒x1=3,x2=−3
Відповідь:x1=3,x2=−3

Приклад:
Розв'язати рівняння: lg(x+1)+lg(x+4)=1.
Розв'язок.
За властивістю логарифма перетворимо ліву частину ОДЗ
lg(x+1)(x+4)=1{x+1>0x+4>0lg(x+1)(x+4)=lg10

(x+1)(x+4)=10{x>−1x>−4x2+5x+4=10x∈(−1;+∞)x2+5x+4−10=0x2+5x−6=0
За теоремою Вієта
{x1+x2=−5x1⋅x2=−6⇒x1=−6,x2=1
x=−6 не є коренем цього рівняння, бо не належить ОДЗ.
Відповідь: x=1

Розв'язання логарифмічних рівнянь типу  logaf(x)=logag(x)
зводиться до розв'язання рівняння f(x)=g(x).
Це випливає з монотонності логарифмічної функції.

Потенціювання  – це перехід від рівняння вигляду logaf(x)=logag(x) до рівняння f(x)=g(x), де a - відмінне від одиниці додатне число,
f(x) і g(x) - елементарні алгебраїчні функції, f(x)>0,g(x)>0.

Для розв'язання даного типу рівнянь досить знайти всі корені рівняння  f(x)=g(x) і серед отриманих, вибрати ті, що належать ОДЗ рівняння logaf(x)=logag(x)

У випадку, якщо рівняння f(x)=g(x) коренів не має, тоді їх не має і вихідне логарифмічне рівняння.
Приклад:
Розв'яжи рівняння: log5(x+1)=log5(2x−3)
Розв'язок.
Знаходимо ОДЗ:
{x+1>02x−3>0{x>−12x>3{x>−1x>1,5⇒x∈(1,5;+∞)
Розв'язуємо рівняння
x+1=2x−3x−2x=−3−1−x=−4
x=4 належить інтервалу  x∈(1,5;+∞) ,
отже, є коренем вихідного логарифмічного рівняння.
Відповідь: x=4

Приклад:
Розв'яжи рівняння log0,7(x+4)+log0,7(2x+3)=log0,7(1−2x)
Розв'язок.
ОДЗ:
⎧⎩⎨⎪⎪x+4>02x+3>01−2x>0⎧⎩⎨⎪⎪x>−42x>−3−2x>−1⎧⎩⎨⎪⎪x>−4x>−1,5x<0,5⇒x∈(−1,5;0,5)

log0,7(x+4)(2x+3)=log0,7(1−2x)(x+4)(2x+3)=1−2x2x2+8x+3x+12=1−2x2x2+13x+11=0x1=−1,x2=−5,5x1=−1∈ОДЗ  x2=−5,5∉ОДЗ
отже,  −5,5 не є коренем вихідного рівняння.
Відповідь: x=−1

Рівняння вигляду f(logax)=0 розв'язуються за допомогою підстановки t=logax,
яка приводить рівняння до вигляду f(t)=0.
Якщо t – корінь рівняння f(t)=0, тоді після повернення до підстановки t=logax,
можна знайти корінь вихідного логарифмічного рівняння,
тобто x=at (аналогічно знаходяться й інші корені, якщо вони є).

Приклад:
Розв'язати рівняння:log22(x+4)=2log2(x+4)+3
Розв'язок:
log22(x+4)=2log2(x+4)+3log2(x+4)=tt2−2t−3=0{t1+t2=2t1⋅t2=−3⇒{t1=−1t=3log2(x+4)=−12−1=x+40,5=x+40,5−4=xx=−3,5¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯log2(x+4)=323=x+48=x+48−4=xx=4¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯   ОДЗ: x+4>0x>−4x∈(−4∈;+∞)
x=−3,5 та x=4  обидва належать ОДЗ
Відповідь: −3,5;4
Приклад:
Розв'язати рівняння: 2log24x−5log4x=−2
Розв'язок:
2log24x−5log4x+2=0

Позначивши log4x=t, отримаємо рівняння 2t2−5t+2=0.
Корені цього рівняння t1=12,t2=2 .
Із рівняння log4x=12 знаходимо, що x=412=4–√=2,
а з рівняння log4x=2, випливає, що x=42, тобто x=16.
Обидва кореня належать ОДЗ:x>0.
Відповідь: 2;16.
Приклад:
Завдання. Знайти корені рівняння  logx(6−x)=2
Розв'язок.
ОДЗ:
⎧⎩⎨⎪⎪6−x>0x>0x≠1⎧⎩⎨⎪⎪−x>−6x>0x≠1⎧⎩⎨⎪⎪x<6x>0x≠1x∈(0;1)∪(1;6)
Введемо нову змінну:
6−x=tlogxt=2x2=t
Повернемося до позначеного
x2=6−xx2+x−6=0x1=−3,x2=2
Перший корінь не належить ОДЗ, а отже коренем є x=2
Відповідь: x=2

Домашнє завдання : № 25.367

Завдання на період з 02.05 по 06.05

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 04.05 Тема уроку :

"Показникові рівняння та нерівності"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=Rs5nq7a6ykw

Показникові рівняння
Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.
Наприклад: рівняння $2^{x} + 3 = 0; 3^{x + 1} - 3^{x} - 1 = 0$ є показниковими.
Найпростішим показниковими рівнянням є рівняння $a^{x} = b, a > 0, a \neq 1$ .
Оскільки множина значень функції $y = a^{x}$ - множина додатних чисел, то рівняння $a^{x} = b$ :
1) має один корінь, якщо b>0;

2) не має коренів, якщо b≤0.

Для того, щоб розв’язати рівняння $a^{x} = b, a > 0, a \neq 1, b > 0$ , треба b подати у вигляді $b = a^{c}$ , тобі будемо мати $a^{x} = a^{c}$ , звідси х=с.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння . $5^{x} = 125$
Розв’язання
Оскільки $5^{x} = 125$ , а $125 = 5^{3}$ , то маємо $5^{x} = 5^{3}$ , звідси х=3.
Відповідь: 3.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння $(\frac{1}{7})^{x} = 49$ .
Розв’язання
Оскільки $49 = 7^{2} = (\frac{1}{7})^{- 2}$ , то маємо $(\frac{1}{7})^{x} = (\frac{1}{7})^{- 2}$ , звідси х=-2.
Відповідь: -2.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння $15^{x^{2} - 5 x + 6} = 1$ .
Розв’язання
Оскільки $15^{0} = 1$ , то $15^{x^{2} - 5 x + 6} = 15^{0}, x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , звідси х₁=2, х₂=3.

Показникові нерівності
Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей $a^{x} > a^{b} (a^{x} \geq a^{b})$ або $a^{x} < a^{b} (a^{x} \leq a^{b})$ . Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність $3^{x} < 27$ .
Розв’язання
Запишемо дану нерівність у вигляді $3^{x} = 3^{3}$ . Оскільки 3>1, то функція $y = 3^{t}$ є зростаючою. Отже, при х<3 виконується нерівність $3^{x} < 27$ .
Відповідь: (-∞;3).
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність ${(\frac{1}{2})}^{x} > \sqrt{8}$ .
Розв’язання
Запишемо дану нерівність у вигляді ${(\frac{1}{2})}^{x} > 2^{\frac{3}{2}}; {(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{2})}^{- \frac{3}{2}}$ . Оскільки $y = {(\frac{1}{2})}^{t}$ – спадна функція, то $x < - \frac{3}{2}$ .
Відповідь: $(- \infty; - \frac{3}{2})$ .

Домашнє завдання : № 25.254

Дата 02.05 Тема уроку :

"Показникові рівняння та нерівності"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=GU24bBp5sRo

Опрацювати матеріал :

Показниковими рівняннями називають рівняння виду

af(x)=ag(x), де

a — додатне число, відмінне від

1, і рівняння, що зводяться до цього виду.

Тобто, рівняння називається показниковим, якщо воно містить змінну лише в показниках степеня.

При розв'язанні показникових рівнянь застосовують властивості степенів з раціональними показниками:

1. якщо

n=1, тоді

a1=a;

2. якщо

n=0 і

a≠0, тоді

a0=1;

3. якщо

n=2,3,4,5..., тоді

an=a⋅a⋅a⋅...⋅a (

n множників);

4. якщо

n=1,2,3,4,... і

a≠0, тоді

a−n=1an.

Приклад:

51=5

70=1

a4=a⋅a⋅a⋅a

a−4=1a4

Якщо

pq - звичайний дріб (

p>0,q≠1) і

a>0, тоді під

apq розуміють

ap−−√q, тобто

apq=ap−−√q,a≥0.

Приклад:

312=3–√

754=75−−√4

6423=642−−−√3=(43−−√3)2=42=16

Зверни увагу!

Математики домовилися зводити в дробові степені тільки додатні числа (це обумовлено в визначенні).

Так що запис вигляду (−8)13 вважається в математиці позбавленим змісту.

Якщо pq — звичайний дріб (q≠1) і a>0, тоді a−pq можна подати у вигляді 1apq, тобто a−pq=1apq,a>0

1.3−12=1312=13–√

2.7−54=1754=175−−√4

Справедливі наступні властивості (припускаємо, що a>0,b>0,s,t - довільні раціональні числа):

1)as⋅at=as+t;2)as:at=as−t;3)(as)t=as⋅t;4)(a⋅b)s=as⋅bs;5)(ab)s=asbs.

Можна виділити три основні методи розв'язання показникових рівнянь, які наводяться в наступних теоретичних матеріалах даного розділу.

Показниковими нерівностями називають нерівності вигляду

af(x)>ag(x)(<,≥,≤),

де

a - додатне число, відмінне від

1, і нерівності, що зводяться до цього вигляду.

Нерівності розв'язуються за допомогою властивості зростання або спадання показникової функції:

- для зростаючої функції більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу

- для спадної функції більшому значенню функції відповідає меньше значення аргументу.

Показникова функція

y=ax зростає при

a>1

і спадає при

0<a<1

Показникова нерівність

af(x)>ag(x) рівносильна нерівності того ж змісту

f(x)>g(x), якщо

a>1

Приклад:

Розв'язати нерівність:

22x−4>64

Маємо

22x−4>26

Ця нерівність рівносильна нерівності того ж змісту

2x−4>6, оскільки основа дорівнює 2>1 (

a>1),

звідки знаходимо

x>5.

Показникова нерівність

af(x)>ag(x) рівносильна нерівності протилежного змісту

f(x)<g(x), якщо

0<a<1.

Приклад:

Розв'язати нерівність:

(13)2x−3,5<13–√

Скориставшись тим, що

13–√=(13)12, перепишемо задану нерівність у вигляді:

(13)2x−3,5<(13)0,5.

Основою є число

0<13<1.

Отже, розглянута нерівність рівносильна нерівності протилежного змісту

2x−3,5>0,5,

звідки знаходимо

x>2.

Домашнє завдання : № 25.253

Завдання на період з 25.04 по 29.04

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 27.04 Тема уроку :

"Контрольна робота з теми: «Повторення»"

Виконати контрольну роботу за посиланням : https://docs.google.com/document/d/1Xkvy1d_L0oDY-zAL-RRqSgIF8TvPj0F8/edit?usp=sharing&ouid=114690071356165548445&rtpof=true&sd=true

Дата 25.04 Тема уроку :

"Узагальнення та систематизація знань, умінь і навичок учнів з теми: «Повторення»"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=4yaBQUsquYE

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=5sJOOTzNeQA

Домашнє завдання : № 1
Розв'яжіть рівняння
1.√(х+2)=х
2. √(4х-5)=√(1-х)
3. √(15-3х)=х+1
4.√(2х-4)-√(х+5)=1
Розв'яжіть нерівність
1. √(х-3)>-2
2. √(х+5)<√(8-х)
3. √(х+18)<2-х
4. √(11-5х)≥х-1

Завдання на період з 18.04 по 22.04

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 20.04 Тема уроку :

"Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей."

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=olOU7s6VALw

Домашнє завдання : № 25.351

Дата 18.04 Тема уроку :

"Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь."

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=4u7SD1RelJ8

Тригонометричним рівнянням називають рівність, де невідома величина тільки під знаком тригонометричних функцій і справедлива тільки при певних значеннях невідомого.
Коренями тригонометричного рівняння називають значення невідомих, які задовольняють рівнянню.
Розв'язати тригонометричне рівняння означає знайти його корені або довести, що коренів не має. Тригонометричне рівняння має безліч коренів або не має розв'язків.

Розглядають чотири види найпростіших тригонометричних рівнянь, для яких описані формули загальних розв'язків.

1.    sin(α)=a,⇒α=(−1)karcsin(a)+πk,k∈Z.

Приклад:
sin(2α)=2−−√2,2α=(−1)karcsin2−−√2+πk,k∈Z,2α=(−1)kπ4+πk,k∈Z,α=(−1)kπ8+πk2,k∈Z.
2.       cos(β)=a,⇒β=±arccos(a)+2πn,n∈Z.

Приклад:
cos(β+π3)=12,β+π3=±arccos12+2πn,n∈Z,β+π3=±π3+2πn,n∈Z,β=±π3−π3+2πn,n∈Z.
3.      tgα=b,⇒α=arctgb+πk,k∈Z.

Приклад:
tg(0.5⋅α)=1,0.5⋅α=arctg(1)+πk,k∈Z,0.5⋅α=π4+πk,k∈Z,α=π2+2πk,k∈Z.
4.      ctgβ=a,⇒β=arctga+πn,n∈Z.

У таблиці нижче наведені окремі випадки тригонометричних рівнянь.

Розв'язання більш складних рівнянь зводяться до зведення рівняння до однієї тригонометричної функції і до одного аргументу.

Для цього використовують такі методи:
— метод підстановки;
— метод тотожних перетворень;
— зведення до квадратного;
— використання універсальної підстановки;
— використання тригонометричних тотожностей.

Домашнє завдання : № 25.339, 25.340

Завдання на період з 11.04 по 15.04

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 13.04 Тема уроку :

"Тригонометричні формули"

Переглянути відео за посиланням : https://www.youtube.com/watch?v=Xpp_TRL3ZsU

Формула синуса суми:  sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny        (1)

Формула косинуса суми:  cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny       (2)

Розглянемо тепер вираз sin(x−y) в такому вигляді sin(x+(−y)) і скористаємося формулою синуса суми (1): sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y).

Тепер згадаємо про властивість парності функції косинус:  cos(−y)=cosy
і властивості непарності функції синус:   sin(−y)=−siny.

Тоді :
sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny

Формула синуса різниці:  sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny (3)
Представивши cos(x−y) у вигляді  cos(x+(−y)), скористаємося формулою косинуса суми (2)
і властивостями парності функції косинус:  cos(−y)=cosy
і непарності функції синус:   sin(−y)=−siny

Тоді отримаємо:
cos(x+(−y))=cosx⋅cos(−y)−sinx⋅sin(−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny
Одними з основних і найбільш часто використовуваних формул перетворення тригонометричних виразів є формули тангенса суми і різниці аргументів.
Вони встановлюють співвідношення між тангенсом загальної суми або різниці аргументів і тангенсами окремих аргументів - доданків.

При всіх допустимих значеннях аргументів справедливі формули:
   тангенса суми аргументів:          tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ  (1)

   тангенса різниці аргументів:   tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ (2)

Формули подвійного аргументу дозволяють представити тригонометричну функцію подвоєного аргументу у вигляді виразу тригонометричних функцій простого (одинарного) аргументу.
Ці формули встановлюють співвідношення між sin 2x, cos 2x, tg 2x і sin x, cos x, tg x.

Послідовно приведемо і доведемо формули подвійного аргументу для функцій синуса, косинуса і тангенса.

1. Розглянемо вираз sin 2x - представимо його аргумент у вигляді 2x=x+x і скористаємося відомою формулою синуса суми аргументів:
sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ.
Тоді  отримаємо:
sin2x=sin(x+x)=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx=2sinx⋅cosx
Отже,
формула синуса  подвійного аргументу:  sin2x=2sinx⋅cosx

2. Розглянемо вираз cos 2x і аналогічно представимо його аргумент у вигляді 2x=x+x, а також скористаємося відомою формулою косинуса суми аргументів:
cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ.
Тоді отримаємо:
cos2x=cos(x+x)=cosx⋅cosx−sinx⋅sinx=cos2x−sin2x
Отже,
формула косинуса подвійного аргументу: cos2x=cos2x−sin2x

3. Тепер розглянемо вираз tg 2x і знову представимо його аргумент у вигляді 2x=x+x, що дасть можливість скористатися відомою формулою тангенса суми аргументів:
tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ.
Тоді отримаємо:
tg2x=tg(x+x)=tgx+tgx1−tgx⋅tgx=2tgx1−tg2x

формула тангенса подвійного аргументу: tg2x=2tgx1−tg2x

Зверни увагу!
Формули синуса подвійного аргументу і косинуса подвійного аргументу справедливі для будь-яких значень аргументу (ніяких обмежень немає), тоді, як формула тангенса подвійного аргументу справедлива лише для тих значень аргументу x, для яких визначені функції tg x і tg 2x, а також відмінний від нуля знаменник дробу, тобто 1−tg2x≠0.
Це рівнозначно одночасному виконанню умов:
x≠π2+πk,k∈Z, x≠π4+πn,n∈Z.

Зрозуміло, всі отримані формули можна застосувати й у тих випадках, коли місце аргументу x займає більш складний вираз, наприклад, справедливі наступні співвідношення:
sin4x=2sin2x⋅cos2x

sinx=2sinx2⋅cosx2 - до речі, цю формулу іноді називають формулою половинного аргументу

cos48°=cos224°−sin224°

cos(2x+6y)=cos2(x+3y)=cos2(x+3y)−sin2(x+3y)

tg(2π3−2t)=tg(2(π3−t))=2tg(π3−t)1−tg2(π3−t)  і т.п.

Будь-яку з отриманих формул подвійного аргументу можна використовувати, як зліва направо, так і справа наліво (згортати) для розв'язання тригонометричних виразів.

Домашнє завдання : № 25.319

Дата 11.04 Тема уроку :

"Раціональні вирази"

Переглянути відео за посиланням : https://www.youtube.com/watch?v=mgNeFmRRIYs

Вирази, в яких є лише додавання, віднімання, множення змінних або зведення їх до степеня, називаються цілими раціональними алгебраїчними виразами.
Приклад:
2,6x+5y−z23+3

z23 не є дробовим раціональним виразом, оскільки в знаменнику немає змінної.
Вирази, в яких є ще й ділення змінних, називаються дробовими раціональними алгебраїчними виразами.
Приклад:
2x;4−yz+3;a3c;xx−5+x24+x — дробові раціональні вирази.

Дробові раціональні вирази мають область визначення з усіма значеннями змінних, що не перетворюють знаменник на 0 (тому що на 0 ділити не можна).

Область визначення — це множина, що складається з усіх допустимих значень змінної.
Є завдання на знаходження області визначення, але під час розв'язання дробових раціональних рівнянь потрібно також обов'язково знаходити область визначення.
Приклад:
Знайди область визначення виразу x2−x

Розв’язання:2−x≠0−x≠−2x≠2, значить, при x = 2 вираз не має сенсу.

Відповідь: область визначення виразу — x∈(−∞;2)∪(2;+∞)
Розв'яжи рівняння: x2+1x−1=2xx−1

Розв’язання:
x2+1x−1=2xx−1x2+1=2xx2−2x+1=0D=0x1=x2=1
Отримані корені не належать області визначення рівняння.

Відповідь: немає коренів.

Для того, щоб скоротити алгебраїчний дріб, потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник і знаменник мають спільні множники, їх можна скоротити.
Прийоми розкладання многочленів на множники:
винесення спільного множника за дужки;
використання тотожностей скороченого множення;
спосіб групування.

дріб скорочений на двочлен
(m+2);
чисельник і знаменник дробу розкладені на множники, дріб скорочений на спільний множник (x–y);
чисельник і знаменник дробу розкладені на множники, дріб скорочений на (a−b);
чисельник дробу розкладений на множники за допомогою формули квадрата суми; у знаменнику спільний множник винесено за дужки; дріб скорочений на спільний множник (m+n)
Тотожності скороченого множення, які можна використовувати при скороченні дробів
Різниця квадратів: a2−b2=(a−b)(a+b);
Квадрат суми: (a+b)2=a2+2ab+b2;
Квадрат різниці: (a−b)2=a2−2ab+b2;
Сума кубів: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2);
Різниця кубів: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
Приклад:
Скороти дріб: x2−4x2−4x+4
Розв'язання:

1. Чисельник і знаменник дробу розкладаємо на множники, використовуючи формули різниці квадратів і квадрата різниці.

x2−4x2−4x+4=(x−2)(x+2)(x−2)2

2. Скорочуємо дріб на загальний множник — двочлен (x−2)

Приклад:
Перетвори дріб 2x+2 таким чином, щоб у знаменнику було 3x2−12

Розв'язання:
1. Аби зрозуміти, як розширити дріб 2x+2, вираз 3x2−12 розкладаємо на множники.
3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)

2. Порівнюємо отриманий вираз зі знаменником дробу x+2 та робимо висновок, що додатковим множником цього дробу є 3(x−2)

Приклад:
Спрости вираз: 2x3+166x2−12x+24

Розв'язання:

1. У чисельнику за дужки виносимо спільний множник 2, а в знаменнику — спільний множник 6

2x3+166x2−12x+24=2(x3+8)6(x2−2x+4)

2. Вираз x3+8 розкладаємо на множники, використовуючи формулу суми кубів, а потім дріб скорочуємо.

Рівні знаменники відкидаються. Знаходимо область визначення рівняння:
x−1≠0x≠1

Домашнє завдання : № 25.105

Завдання на період з 04.04 по 08.04

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 06.04 Тема уроку :

"Ірраціональні рівняння та нерівності"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=onR-bXurfLA

Домашнє завдання : № 23.6, 23.8

Дата 04.04 Тема уроку :

"Ірраціональні рівняння та нерівності"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=0xMsVngtSZE&ab_channel=MONUKRAINE

Опрацювати матеріал :

Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна, називаються ірраціональними.
Розв'язання ірраціональних рівнянь зазвичай зводиться до переходу від ірраціонального до раціонального рівняння шляхом піднесення до степеня n обох частин рівняння.

При розв'язанні ірраціональних рівнянь необхідно враховувати наступне:

1. Якщо показник кореня — парне число, то підкореневий вираз і значення кореня не повинні бути від'ємними.

2. Якщо показник кореня — непарне число, то підкореневий вираз може бути будь-яким дійсним числом.

3. При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть виникати сторонні корені, тому при використанні даного методу необхідно робити перевірку або знаходити область допустимих значень.
Приклад:
1. Розв'яжи рівняння: 3x−2−−−−−√4=2

Розв'язання

ОДЗ:

3x−2≥03x≥2 / : 3x≥23

Піднесемо обидві частини рівняння до четвертого степеня.

Зx−2=16
3x=16+2
3x=18

x=6∈ ОДЗ

Відповідь: x=6

2. Розв'яжи рівняння: x2−24−−−−−−√=1

Розв'язання

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

x2−24=1x2=24+1x2=25

Отримане неповне квадратне рівняння має два корені: −5 і 5.

Зробимо перевірку отриманих коренів, для цього підставимо значення змінної x у початкове рівняння.

Перевірка

При x1=−5(−5)2−24−−−−−−−−−√=25−24−−−−−−√=1–√=1 — правильно
При x2=552−24−−−−−−√=25−24−−−−−−√=1–√=1 — правильно

Отже, початкове ірраціональне рівняння має два корені.

Відповідь: −5 і 5

3. Розв'яжи рівняння: 9−2x−−−−−√8=−12

Розв'язання

Рівняння не має коренів. Корінь парного степеня — невід'ємне число.

Розв'яжи рівняння: 5x+7−−−−−√3=−2

Розв'язання

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

5x+7=−85x=−8−75x=−15x=−3

Відповідь: x=−3

Домашнє завдання : № 25.254(1,3,5,7)

Завдання на період з 28.03 по 31.03

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 30.03 Тема уроку :

" Корінь n -го степеня.Степінь з раціональним показником"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=5v2QWqY8bWg&ab_channel=MONUKRAINE

1. Поняття степеня з раціональним показником
Теорія:

Вираз amn означає корінь, показник якого дорівнює знаменнику n дробу mn, а
показник степеня підкореневого виразу дорівнює чисельнику m дробу mn, тобто amn=am−−−√n.

Наприклад:

1112=11−−√,289=28−−√9,t5−−√=t52
Приклад:
1. Обчисли: 3215

Розв'язання

3215=32−−√5=2

2. Обчисли: (−27)13

Розв'язання

Степінь із дробовим показником для випадку від'ємної основи не має змісту.
Зверни увагу!
Слід звернути увагу на те, що основа не може бути від'ємним числом, а показник степеня може бути як додатним, так і від'ємним.
Приклад:
Порівняємо два рівняння.

1. Розв'яжи рівняння: y2−−√3=1

Розв'язання

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

y2=1y1,2=±1

Відповідь: −1;1

2. Розв'яжи рівняння: y23=1

Розв'язання

Основа y повинна бути невід'ємною, тому вона підноситься до дробового степеня.

Отже, зі знайдених вище двох значень y коренем рівняння є лише значення y=1.

Відповідь: 1
Якщо pq — звичайний дріб, де q≠1 і a>0, то під a−pq розуміють 1apq.
a−pq=1apq
7−12=1712=17–√

Властивості степеня з раціональним показником
Теорія:
Якщо a>0,b>0, s і t — довільні раціональні числа, то правильні такі властивості:

as⋅ar=as+ras:ar=as−r(as)r=as⋅r(a⋅b)s=as⋅bs(ab)s=asbs
Приклад:
1. Спрости:

x27⋅x35

Розв'язання

x27⋅x35=x27+35=x1035+2135=x10+2135=x3135

2. Спрости:

(z12)35

Розв'язання

(z12)35=z12⋅35=z1⋅32⋅5=z310

3. Спрости:

(u15+v15)2−2uv−−√5−1(v–√5)−2

Розв'язання

Розкриємо дужки за формулою скороченого множення:

(u15+v15)2=(u15)2+2⋅u15⋅v15+(v15)2=u15⋅2+2u15v15+v15⋅2==u25+2u15v15+v25

Запишемо корінь 5 степеня у вигляді степеня і застосуємо властивість степеня добутку:

2uv−−√5=2⋅(uv)15=2⋅u15⋅v15=2u15v15

Перетворимо вираз:

1(v–√5)−2=(v–√5)2=(v15)2=v15⋅2=v25

Підставимо знайдені значення в початковий вираз і зведемо подібні доданки:

(u15+v15)2−2uv−−√5−1(v√5)−2=(u25+2u15v15+v25)−2u15v15−v25==u25+2u15v15+v25−2u15v15−v25=u25

Домашнє завдання : № 25.218 ; 25.222

Дата 28.03 Тема уроку :

"Функції , їх властивості та графіки "

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=NbY9Tc47eC8&ab_channel=MONUKRAINE

Домашнє завдання : № 25.260(1,2,3,4,9) стр.272

Завдання на період з 21.03 по 25.03

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 23.03 Тема уроку :

"Корекція знань,умінь та навичок"

Статистика займається збором, зображенням (у вигляді таблиць, діаграм, графіків та ін.) та аналізом інформації про різні випадкові величини.

Випадковими величинами (даними) називаються такі величини, які в ході спостережень або випробувань можуть приймати різні значення. Можна говорити про те, що їхні значення залежать від випадку.

Значення змінних, які реєструються за допомогою чисел, що мають змістовне значення, називаються кількісними даними.

Залежно від того, які значення може потенційно приймати змінна, виокремлюють два типи кількісних даних:

1) дискретні;

2) неперервні.

Якщо два варіанти ознаки в даній сукупності можуть відрізнятися один від одного не менш ніж на певне число або взагалі збігаються, то такі дані називаються дискретними.

Наприклад, кількість учнів у класах школи; кількість балів, які набирає учень під час тестування; кількість дітей у сім'ї; кількість викликів швидкої допомоги, що надходять до лікарні; кількість клієнтів, що звернулися до фірми за певний проміжок часу і т. п.

Якщо випадкова величина може приймати будь-яке значення з деякого проміжку, то така величина називається неперервною.

Наприклад, відсоток учнів, які мають достатній рівень підготовки з предмету в різних класах; час, за який учні пробігли 60 м на змаганнях; тривалість роботи електронних ламп; температура повітря; зріст дорослої людини (наприклад від 140 до 230 см), фактична маса буханки хліба (наприклад від 750 до 830 г), дальність польоту снаряда, врожайність культури, вирощеної у господарстві і т. п.

Дані, що реєструють певну якість, якою наділений об'єкт, називаються якісними.

Якісні дані бувають двох типів:

1) порядкові, для яких існує порядок, що має змістовне значення;

2) номінальні, для яких немає змістовно інтерпретованого порядку.

Для обробки даних вимірювання використовують графічне, візуальне зображення наявної інформації. Добре відомий табличний спосіб задання функцій.

Дані таблиці можна зобразити за допомогою так званої гістограми частот і полігону.

Гістограма частот — це фігура, що складається з прямокутників, які спираються на інтервали угруповання.

Полігон частот — один зі способів графічного зображення густини ймовірності випадкової величини. Полігон є ламаною, що сполучає точки, які відповідають серединним значенням інтервалів угруповання і частотам цих інтервалів.

Приклад:

У частотній таблиці відображено чисельність робітників на різних заводах.

Чисельність робітників	20−39	40−59	60−79	80−99	100−119
Кількість заводів	5	9	7	6	7

Проілюструємо розподіл цих даних за допомогою гістограми та полігону частот.

Гістограма частот:

Полігон частот:

У статистиці досліджують різні сукупності даних — числових значень випадкових величин із урахуванням частот, із якими вони зустрічаються в сукупності.

При цьому сукупність усіх даних називають генеральною сукупністю, а будь-яку вибрану з неї частину — вибіркою.

У статистичних дослідженнях вибірку називають репрезентативною, якщо в ній присутні ті й тільки ті значення випадкової величини, що і в генеральній сукупності, причому частоти наявних у ній даних знаходяться практично в тих же відношеннях, що і в генеральній сукупності.

Сукупність даних іноді буває корисно охарактеризувати (оцінити) одним числом — мірою центральної тенденції числових значень її елементів. До таких характеристик належать мода, медіана та середнє.

Мода (позначають

Mo) — це значення випадкової величини, що має найбільшу частоту в розглянутій вибірці.

Приклад:

Mода вибірки 7,6,2,5,6,1 дорівнює 6, a вибірка 2,3,8,2,8,5 має дві моди: Mo =2, Mo =8.

Медіана (позначають

Me) — це число (значення випадкової величини), що ділить упорядковану вибірку на дві рівні за кількістю даних частини.

Якщо у впорядкованій вибірці непарна кількість даних, то медіана дорівнює серединному з них.

Якщо у впорядкованій вибірці парна кількість даних, то медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних чисел.

Приклад:

1) 5,9,1,4,5,−2,0; 2) 7,4,2,3,6,1.

1) розташуємо елементи вибірки в порядку зростання: −2,0,1,4,5,5,9. Кількість даних — непарна. Ліворуч і праворуч від числа 4 знаходяться по 3 елементи, тобто 4 — серединне число вибірки, тому Me =4.

2) упорядкуємо елементи вибірки: 1,2,3,4,6,7. Кількість даних — парна. Серединні дані вибірки: 3 і 4, тому Me=3+42=3,5.

Середнє (або середнє арифметичне) вибірки — це число, що дорівнює відношенню суми всіх чисел вибірки до їхньої кількості.

Якщо розглядається сукупність значень випадкової величини X, то її середнє позначають X¯¯¯.

Приклад:

Знайди середнє вибірки значень випадкової величини X, розподіл яких за частотами подано в таблиці:

X	2	3	4	8	10
M	1	2	3	1	1

X¯¯¯=2⋅1+3⋅2+4⋅3+8⋅1+10⋅11+2+3+1+1=388=4,75

Однією з найбільш поширених характеристик вибірки значень випадкової величини, чий розподіл за ймовірностями відомий, є так зване математичне очікування.

Нехай розподіл за ймовірностями P значень деякої випадкової величини X задано таблицею:

X	X1	X2	...	Xn−1	Xn
P	P1	P2	…	Pn−1	Pn

Тоді число E, де E=X1⋅P1+X2⋅P2+...+Xn−1⋅Pn−1+Xn⋅Pn, називають математичним очікуванням (або середнім значенням) випадкової величини X.

Домашнє завдання : Параграф 16-20 повторити,

Виконати вправи :

1. Визнач середнє значення вибірки:

10;−2;−9;16;7

2.Визнач моду вибірки:

6,6,8,5,4,8,3,6

3.Учитель провів дослідження про те, як учні на заліку розв'язували творчу задачу, за яку максимально можна було отримати

4 бали.

Дані подано в таблиці.

Значення ознаки (отримана кількість балів)	Частота (кількість учнів, які отримали відповідну кількість балів)
0	5
1	5
2	1
3	3
4	3

Обчисли середнє арифметичне.

4. Запиши медіану вибірки:

15,13,20,21,24

5. Учень отримав табель з такими оцінками: 5, 6, 6, 7, 6, 5, 9, 10, 6, 6. Знайдіть середнє значення вибірки, моду, медіану. Побудуйте полігон частот.

Дата 21.03 Тема уроку : Контрольна робота з теми :"Елементи комбінаторики,теорії ймовірності та математичної статистики"

Виконати контрольну роботу за посиланням : https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfAV5TaT4FT_uffoOejB9tEPjytMgBaxSBgaX7U8ZRJdLNcWw/viewform?usp=sf_link

Домашнє завдання : Параграф 16-20 повторити

Завдання на період з 14.03 по 18.03

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 16.03 Тема уроку : "Узагальнення та систематизація знань умінь і навичок учнів з теми :Елементи комбінаторики,теорії ймовірності та математичної статистики""

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=tgOcIIJLcGE

Домашнє завдання : Параграф 16-20 повторити, сторінка 195-197 тести

Дата 14.03 Тема уроку : "Розвязування вправ. Самостійна робота"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=rUm2PqOxB5g

Виконати самостійну роботу за посиланням : https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScLjbk_J52KZ4DUQ39EM2YpzaQvLWcWLU1pAgPYriqOTZSAqA/viewform?usp=sf_link

Домашнє завдання : Параграф 20 повторити

Завдання на період з 11.10 по 15.10

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 13.10 Тема уроку : "Контрольна робота з теми "Показникова та логарифмічна функція""

Виконати контрольну роботу за посиланням : https://docs.google.com/document/d/1MXOomu7AGWLmv5DFkTpz7DPVCHW5uSba/edit?usp=sharing&ouid=114690071356165548445&rtpof=true&sd=true

Домашнє завдання : параграф 1-5 повторити

Дата 13.10 Тема уроку : "Контрольна робота з теми "Показникова та логарифмічна функція""

Виконати контрольну роботу за посиланням : https://docs.google.com/document/d/1MXOomu7AGWLmv5DFkTpz7DPVCHW5uSba/edit?usp=sharing&ouid=114690071356165548445&rtpof=true&sd=true

Домашнє завдання : параграф 1-5 повторити

Дата 11.10 Тема уроку : "Узагальнення та систематизація знань ,умінь і навичок учнів з теми : "Показникова та логарифмічна функція""

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=85LSs_rlmVc

Функція, яку задано формулою y=a^x, де a>0, a≠1 називається показниковою, а – основапоказникової функції. Якщо а=1, то функція y=a^x=1^x=1 є сталою.

Графік функції у=а^х і у=()^x симетричні відносно осі ординат.

Питання, пов’язане з показниковою функцією, розробляв Леонард Ейлер (15.04.1707-18.09.1783). Він народився у швейцарському Базелі в сім’ї небагатого пастора Пауля Ейлера. Його мати Маргарита походила з освіченої родини. Батько був математично обдарованою людиною й навіть написав дисертацію про співвідношення і пропорції. Він і став першим учителем свого сина. Незвичайна обдарованість хлопчика виявилася досить рано. У віці 13 років Леонард вступив до Базельського університету, де слухав лекції з математики Йоганна Бернуллі. А через чотири роки Ейлер – молодиймагістр філософії – прочитав латиною свою першу лекцію про порівняльну характеристику філософії Декарта і Ньютона.

Життя вченого нараховує 60 років творчої діяльності. Ейлер написав близько 760 статей для часописів, 40 книжок, а 15 його праць було підготовлено до різноманітних конкурсів.

У двох розділах своєї праці «Вступ до аналізу» він описав «показникові й логарифмічні кількості». До перших належать а^х, до других у^х. Навіть і сам показник може бути показниковою «кількістю», наприклад у виразах .

Ейлеру належить відкриття зв’язку між показниковою і тригонометричними функціями.

Показникову функцію виду у=е^х почали вивчати з 40 років XVII століття.

Іранський математик ал – Караджі почав розглядати тричленні рівняння, квадратні відносно деякого степеня невідомого, а також рівняння, що зводяться до них діленням на степінь невідомого, тобто рівняння виду

ax²ⁿ+bxⁿ=c,    ax²ⁿ+c=bxⁿ,   bxⁿ+c=ax²ⁿ,   ax^2n+m=bx^n+m+cxⁿ

2) До слова запрошується віце-президент. Він називає основні властивості показникової функції, розповідає про її застосування в інших галузях науки.

Властивості показникової функції

-       Область визначення: всі дійсні числа.

-       Область значень: усі додатні числа.

-       Нулі: немає.

-       Проміжки знакосталості: y>0 у всій області визначення; y<0 не існує.

-       Монотонність: якщо а>1, функція зростає; якщо 0<a<1, функція спадає у всій області визначення.

-       Парність, непарність: функція загального виду (функція ані парна, ані непарна).

-       Точка перетину з віссю у: (0;1). З віссю х не перетинається.

-       Періодичність: неперіодична.

-       Екстремуми: немає.

-       Графіком є експонента.

«Експонента»

Як запам’ятати наближене значення числа е ( експонента) ?

Вперше позначення цієї константи літерою е ввів Леонард Ейлер у 1727 році. Чому він позначив цю константу саме літерою е достеменно невідомо.

Можливо це пов’язане з тим, що з неї починається слово exponenta (показниковий, експоненціальний). А може, тому що літери a,b,c,d уже були «зайняті» і e виявилося першою вільною?

                                  e=2,718281828459045…

Домашнє завдання : параграф 1-5 повторити, виконати вправи: 2.18 , 3.11, 4.42 (1-3)

Завдання на період з 04.10 по 01.10

Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.

Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.

Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com

Завдання відправляти до кінця кожного тижня.

Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер 0960813579

Дата 06.10 Тема уроку : "Властивості та графік логарифмічної функції"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=pYETDnIUqKw

Функцію, задану формулою y=logax (a>0,a≠1), називають логарифмічною функцією з основою a.

Основні властивості логарифмічної функції:
1. Область визначення логарифмічної функції — множина всіх додатних чисел.
D(f)=(0;+∞);

2. Множина значень логарифмічної функції — множина R всіх дійсних чисел.
E(f)=(−∞;+∞);

3. Логарифмічна функція на всій області визначення зростає при a>1, або спадає
при 0<a<1.
Зверни увагу!
Логарифмічна функція не є ні парною, ні непарною;
не має ні найбільшого, ні найменшого значень;
не обмежена зверху, не обмежена знизу;
Графік будь-якої логарифмічною функції y=logax проходить через точку (1;0).
Побудуємо графіки двох функцій
Приклад:
1. y=log2x, основа 2>1
x 14 12 1 2 4 8
y=log2x −2 −1 0 1 2 3

Приклад:
2. y=log13x основа 0<13<1
x 9 3 1 13 19
y=log13x −2 −1 0 1 2

Логарифмічна функція y=logax і показникова функція y=ax, де (a>0,a≠1), взаємно обернені. Графіки цих функцій симетричні відносно прямої y=x.

Домашнє завдання : параграф 5 опрацювати, виконати вправи: 5.16 , 5.28

Дата 04 .10 Тема уроку : "Розвязування вправ"

Переглянути відео за посиланням :https://www.youtube.com/watch?v=waYIBXIF6sI

З історії виникнення логарифмів.

Логарифми виникли в 16 столітті у зв'язку з необхідністю проведення великого об'єму наближених обчислень в ході вирішення практичних завдань, і в першу чергу завдань астрономії (зокрема, при визначенні положення сузір’їв за зірками і за сонцем). Логарифми були введені шотландським математиком Джоном Непером (1550-1617) і математиком Іостом Бюрги (1552-1632).

Слово логарифм походить від грецького λογοφ (число) і αρίνμοφ (відношення) і переводиться “наслідок”, “відношення чисел”. Вибір винахідником (1594 р.) логарифмів Дж. Непером такої назви пояснюється тим, що логарифми виникли при зіставленні двох чисел, одне з яких є членом арифметичної прогресії, а інше — геометричною. З точки зору обчислювальної практики, винахід логарифмів по можливості можна сміливо поставити поряд з іншими, більш древнім великим винаходом індусів – нашої десяткової системи нумерації. Через десяток років після появи логарифмів англійський вчений Гунтер винайшов дуже популярний раніше рахунковий прилад – логарифмічну лінійку . Вона допомагала астрономам і інженерам при обчисленнях. Це аналоговий обчислювальний пристрій, що дозволяє виконувати кілька математичних операцій, основними з яких є множення і ділення чисел. Тепер її витіснили калькулятори, але без логарифмічної лінійки не були б, побудовані, ні перші комп'ютери, ні мікрокалькулятори.

Домашнє завдання : параграф 4 повторити, виконати вправи: 4.16, 4.24