Рівняння — це рівність, що містить позначене буквою невідоме число, яке потрібно знайти. Наприклад: х+5=7; 3(х-5)=18; 2,3х-5=7-0,1х.
Корінь рівняння — це значення невідомого , яке перетворює рівняння на правильну рівність.
Наприклад: х=5 - корінь рівняння 2,3х-5=7-0,1х , оскільки при підстановки цього числа замість змінної х, воно перетворює рівність на правильну числову рівність, тобто :
2,3⋅5−5=7−0,1⋅5;6,5=6,5.
Розв'язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести , що коренів немає.
Основні властивості рівнянь:
1.Якщо будь - який доданок перенести з однієї частини рівняння до іншої , змінивши при цьому його знак на протилежний то отримаємо рівняння , яке має ті самі корені , що й дане.
2.Якщо обидві частини рівняння помножити ( поділити ) на одне й те саме , відмінне від нуля число , то отримаємо рівняння , яке має ті самі корені , що й дане.
Приклад:
3x−12=6
Для визначення невідомого зменшуваного потрібно до різниці додати від'ємник:
3x=6+123x=18
Для визначення невідомого множника добуток потрібно поділити на відомий множник:
x=18:3
x=6
Приклад:
2x−12=6−x
Розв'язуючи рівняння, можна міркувати й інакше.
Тут ми маємо рівність двох виразів, отже, їх різниця дорівнює нулю:
(2x−12)−(6−x)=0
Розкриємо дужки та спростимо вираз у лівій частині рівняння:
2x−12−6+x=0
3x−18=0
3x=18
x=6
Відповідь: 6.
Можна помітити, що:
Для розв'язання рівняння потрібно послідовно виконувати наступні дії:
1) спростити рівняння ( розкрити дужки , звести подібні доданки) ;
2) доданки, що містять змінну, перенести в ліву частину рівняння, а числа — у праву частину, не забуваючи при перенесенні змінювати знаки на протилежні;
3) звести подібні доданки в лівій і правій частинах рівняння;
4) знайти корінь рівняння;
(5)\) за потреби зробити перевірку;
(6)\) записати відповідь.
У розглянутих прикладах рівняння зводилися до вигляду ax=b, де a≠0.
Рівняння, що можна звести до такого вигляду за допомогою перенесення доданків і зведення подібних доданків, називається лінійним рівнянням із одним невідомим.
Домашнє завдання : № 1305(14-15,21-22)
Дата 18.05
Tема :"Розв’язування завдань геометричного змісту"
Вміння розв'язувати рівняння необхідне для того, щоб розв'язувати практичні завдання з математики, фізики, механіки, економіки та інших предметів.
Приклад:
Розв'яжемо задачу
В одному бідоні втричі більше молока, ніж в іншому. Коли з одного бідона до іншого перелили 5 літрів, то молока в бідонах стало порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?
Розв'язання
Спочатку введемо змінну, за допомогою якої позначимо невідому нам величину, яку необхідно знайти за умовою задачі. Це перший етап розв'язання.
Нехай xл — кількість молока, яка була до переливання в другому бідоні.
Тоді в першому бідоні його було 3xл.
Після переливання в першому бідоні залишилося (3x–5)л молока, а в другому стало (x+5)л.
За умовою задачі відомо, що після переливання в обох бідонах молока стало порівну.
Складемо рівняння:
3x–5=x+5
Цю частину міркувань під час розв'язання задач називають складанням математичної моделі.
На цьому етапі текст завдання перекладається зі звичайної мови на математичну.
Математичною моделлю є складене рівняння.
Потім починається другий етап, який називають роботою з математичною моделлю.
На цьому етапі розв'язується складене рівняння:
3x−5=x+5
Розв'язавши рівняння, переходимо до третього етапу — відповіді на запитання задачі.
Розв'язавши рівняння, ми отримали x=5, а за x прийняли кількість молока в літрах, яке було до переливання в другому бідоні.
Отже, в другому бідоні було 5л молока. За умовою задачі, в першому бідоні було втричі більше молока, ніж у другому. Тож у першому бідоні було 15л молока.
Відповідь: в одному бідоні було 5л молока, а в іншому — 15л.
Отже, в процесі розв'язання було виокремлено три етапи математичного моделювання:
1) складання математичної моделі (складання рівняння за умовою задачі);
2) робота з математичною моделлю (розв'язання рівняння);
3) відповідь на запитання задачі.
Для складання математичної моделі потрібно провести аналіз завдання, результати якого можна оформити у вигляді таблиці, схеми, малюнка, короткого запису.
Площу прямокутника ABCD можна знайти двома способами.
1. Знайти площу прямокутника ABMN, площу прямокутника MCDN і додати їх.
Отримаємо:
S(ABMN)=a⋅b
2. Знайти площу прямокутника ABCD одразу.
Отримаємо:
S(ABCD)=AB⋅AD=a⋅(b+c)
Отже, правильна рівність:
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c — розподільний закон множення
На малюнку маємо підтвердження цього закону для випадку, коли a,b,c — додатні числа.
Але розподільний закон множення виконується для будь-яких чисел.
Приклад:
7⋅(x+3)=7x+21
При застосуванні розподільного закону множення відбувається розкриття дужок і число, що стоїть перед дужками, множиться на кожне число, що стоїть у дужках. Але не завжди перед дужками записаний числовий множник.
Приклад:
(x−3) або −(x−3)
У таких випадках міркуємо так:
Якщо перед дужками стоїть знак «+», це означає, що всі доданки в дужках потрібно помножити на 1, тобто, розкриваючи дужки, залишити їх без змін.
Якщо перед дужками стоїть знак «−», це означає, що всі доданки в дужках потрібно помножити на −1, тобто, розкриваючи дужки, змінити знаки доданків на протилежні.
Приклад:
(x−3)=1⋅(x−3)=x−3
Переставна , сполучна та розподільна властивості множення дозволяють спрощувати вирази.
Приклад:
Спростимо вираз 5a⋅6b⋅(−0,3c).
Спрощуючи даний вираз, згрупуємо окремо числові та буквені множники.
Добуток декількох множників, відмінних від нуля, - число від'ємне, якщо число від'ємних множників непарне, а якщо число від'ємних множників парне, то добуток - число додатне. Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю.
Для того, щоб виконати додавання чи віднімання дробів з різними знаменниками, треба звести дроби до спільного знаменника та виконати дію (додавання чи віднімання) із дробами, у я
ких знаменники однакові.
1. Обчисли 45+110. Найменший спільний знаменник дорівнює 10. Замінимо перший дріб на дріб йому рівний — 810, оскільки 4(25=4⋅25⋅2=810.
Число 2, записане над дробом, називають додатковим множником.
Тепер додамо дроби з однаковими знаменниками: 810+110=910.
Відповідь: 4(25+110=810+110=8+110=910.
2. Обчисли 23−47.
2(73−4(37=1421−1221=14−1221=221.
Щоб додати мішані числа, треба:
звести дробові частини до найменшого спільного знаменника;
додати окремо цілі та дробові частини;
якщо необхідно, скоротити дріб;
якщо дробова частина суми вийде неправильним дробом, тоді виділити з неї цілу частину й отримане число додати до цілої частини суми.
Приклад:
514+71(22=514+724=121+24=1234.
Дробову частину другого мішаного числа збільшили в 2рази. Додали окремо цілі та дробові частини.
Приклад:
93(25+2710=9610+2710=116+710=111310=12310.
У цьому випадку в результаті дробова частина суми 1310 виявилася неправильним дробом, тому з неї виділили ціле число 1310=1+310=1310 й отримане число додали до цілої частини суми.
111310=11+1310=11+1310=12310.
Щоб віднімати мішані числа, необхідно:
звести дробові частини до найменшого спільного знаменника;
якщо дробова частина зменшуваного менше дробової частини від'ємника, треба «позичити» одиницю з цілої частини;
відняти окремо цілі й дробові частини;
якщо необхідно, скоротити дріб.
Приклад:
72(43−2712=7812−2712=58−712=5112.
Дробову частину першого мішаного числа збільшили в 4 рази. Відняли окремо цілі й дробові частини.
Щоб поділити один дріб на інший, треба ділене помножити на число, обернене дільнику.
ab:cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c
Знайдімо частку двох звичайних дробів.
Приклад:
37:45=37⋅54=3⋅57⋅4=1528
За потреби дріб скорочують.
Приклад:
49:23=49⋅32=42⋅3193⋅21=2⋅13⋅1=23
У випадку поділу цілого числа на звичайний дріб ціле число можна помножити на дріб, обернений дільнику, або спочатку записати ціле число у вигляді неправильного дробу, а потім виконати ділення звичайних дробів.
Метеорологи вимірювали температуру повітря протягом першої половини доби і результати записали до таблиці:
Потім вони вирішили нанести результати вимірювання на координатну площину, відклавши на осі абсцис значення часу (7, год), а на осі ординат — значення температури (Т, °С). Було позначено 13 точок: (0; -2), (1; -3,5), (12; 6). Абсциса кожної з цих точок — це значення часу, а ордината — значення температури повітря у цей час. Якби метеорологи вимірювали температуру щопівгодини і результати вимірювання наносили на координатну площину, то точки знаходилися б ближче одна до одної. Якби вимірювання проводилося щочверть години, то точки на координатній площині були б розміщені ще густіше і т. д.
Якщо точки, побудовані таким чином на координатній площині, сполучити плавною лінією, то одержимо фігуру, яку називають графіком залежності температури повітря від часу (рис. 78).
Розглянемо ще такі приклади.
1. Туристові потрібно пройти 12 км. Він вирахував час руху залежно від швидкості, з якою йтиме, й одержав таку таблицю:
Побудуємо на координатній площині точки за цією таблицею, відклавши на осі абсцис значення швидкості (v, км/год), а на осі ординат — значення часу (і, год).
Сполучивши плавною лінією побудовані точки, одержимо графік залежності часу від швидкості за сталої відстані (12 км) (рис. 79).
Цю залежність часу t (у год) від швидкості u (у км/год), можна задати формулою t = 12/u .
2, Відомо, що до басейну щосекунди вливається 0,5 м3 води. Потрібно знайти, скільки буде води в басейні через t с.
Залежність об'єму води У(у м3) від часу / (у секундах) можна задати формулою V= 0,5?.
Надамо / певних значень, знайдемо відповідні значення об'єму води в басейні і результати занесемо до таблиці:
За даними таблиці побудуємо на координатній площині точки, відклавши на осі абсцис значення часу (і, с), а на осі ординат — значення об'єму (V, м3).
Рис. 80
Приклавши лінійку до побудованих точок, бачимо, що вони лежать на одній прямій. Сполучивши крайні точки відрізком, одержимо графік залежності об'єму води в басейні від часу його наповнення.
Домашнє завдання :параграф 46 опрацювати, № 1285, 1288
Завдання на період з 25.04 по 29.04 2022 року
Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.
Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.
Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com
Завдання відправляти до кінця кожного тижня.
Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер : 0960813579
Прямокутна система координат складається з двох взаємно перпендикулярних прямих OXта OY, які перетинаються у точці O — початку координат, і обраного одиничного відрізку.
Координатна площина
Кожна з цих прямих є координатною прямою. Пряма OX – горизонтальна і називається віссю абсцис, а пряма OY– вертикальна і називається віссю ординат.
Площина, на якій вибрано систему координат називається координатна площина.
Осі координат ділять координатну площину на чотири координатні чверті.
Кожна точка площини має дві координати. Координата, яка відкладається по осі OX, називається абсцисою, її завжди записують першою. Координата, що відкладається по осі OY, — ординатою.
Абсциса і ординат на координатній площині
Точка О – початок координат, має координати нуль-нуль.
Координати точок
Прямокутну систему координат називають прямокутною декартовою системою координат на честь французького математика Рене Декарта, який запропонував цю ідею.
Домашнє завдання :параграф 45 повторити виконати вправи : 1258,1260
У реальному житті в багатьох випадках ми використовуємо два числа (або інші символи), щоб точно описати потрібний нам об'єкт.
Місце в залі задається номером ряду й номером крісла в ряду.
На шаховій дошці позиція фігури задається назвою стовпця та номером ряду.
Будь-яка карта (або глобус) поділена на квадрати, і, подібно до шахівниці, кожен квадрат задається двома номерами.
На екрані комп'ютера кожна точка задається двома номерами.
Система координат
Французький філософ і математик Рене Декарт (1596−1650) у XVIIст. запропонував метод двох координат для знаходження точки на площині. Тому система координат названа його ім'ям.
Декартову систему координат утворюють:
1. Дві перпендикулярні прямі, на яких зазначено напрям зростання чисел. Горизонтальна пряма називається віссю Ox, або віссю абсцис. Вертикальна пряма називається віссю Oy, або віссю ординат.
2. Точка перетину прямих — початок координатної системи, яка часто позначається буквою O.
3. Відрізки на кожній осі завдовжки в одну одиницю вимірювання.
Для будь-якої точки знаходять дві координати x і y (абсциссу і ординату) й записують, як A(xA;yA).
На малюнку показано координати A(2;4), тобто абсциса точки A дорівнює 2, а ордината точки A дорівнює 4.
Якщо на площині вибрано систему координат, то таку площину називають координатною площиною.
Оскільки осі координат ділять площину на 4 частини, кожна з них має номер і називається квадрантом.
У I чверті розташована додатна частина осі абсцис та осі ординат. У II чверті розташована додатна частина осі ординат та від'ємна частина осі абсцис. У III чверті розташована від'ємна частина осі абсцис та осі ординат. У IV чверті розташована додатна частина осі абсцис та від'ємна частина осі ординат.
Домашнє завдання :параграф 45 опрацювати виконати вправи : 1254,1256
Завдання на період з 18.04 по 22.04 2022 року
Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.
Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.
Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com
Завдання відправляти до кінця кожного тижня.
Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер : 0960813579
Дата 21.04
Tема : "Паралельні прямі.Побудова паралельних прямих за допомогою косинця
Дві прямі, що лежать на одній площині, можуть перетинатися в одній точці, або не перетинатися.
Прямі, які перетинаються - прямі, які мають спільну точку. Цю точку називають точкою перетину.
Якщо прямі лежать на одній площині й не перетинаються, то їх називають паралельними.
Назва походить від грецького слова «паралелос» (παράλληλος), що означає «йдуть поруч».
Чому у визначенні дуже важливо вказати, що ми говоримо про прямі, які лежать на одній площині? Тому що в тому випадку, коли прямі не лежать на одній площині, вони можуть не перетинатися й не бути паралельними, тобто не йти поруч.
Цікавий приклад отримуємо, розглядаючи прямі на поверхні кулі (не на площині). Якщо куля досить велика, то в певній точці прямі можуть бути паралельними, але насправді вони перетинаються в точках, які називаються полюсами кулі.
Але для прямих, що лежать на одній площині, правильним є те, що точки перетину немає.
Позначення паралельних прямих: AB || CD
Цей запис читають так: «Пряма AB паралельна прямій CD».
Якщо AB || CD, то CD || AB.
Інший спосіб для запису паралельних прямих — a || b.
Якщо дві прямі перпендикулярні третій прямій, то вони паралельні. a⊥с,b⊥с,тоa∥b.
Через точку А, що не належить прямій a, можна провести єдину пряму b так, що a || b.
Домашнє завдання :параграф 44 опрацювати виконати вправи : 1239,1241
Дата 20.04
Tема : "Перпендикулярні прямі.Побудова перпендикулярних прямих за допомогою косинця
Перпендикулярні прямі - прямі, що перетинаються під прямим кутом.
(Від латинського слова perpendicularis - стрімкий).
a⊥b,∠(ab)=90°
Через будь-яку точку можна провести тільки одну пряму, яка перпендикулярна до даної прямої.
Якщо нас цікавить відстань між двома точками, їх необхідно з'єднати і знайти довжину відрізка.
Що ми можемо назвати відстанню від точки до прямої? Точку A можна з'єднати з нескінченною множиною точок прямої. Який із відрізків називають відстанню від точки до прямої?
Ми завжди шукаємо найкоротшу відстань між об'єктами.
Опустимо перпендикуляр з точки A до прямої. Відрізок AN називають перпендикуляром до прямої KL.
Відстанню від точки до прямої є довжина перпендикуляра AN.
Це записують AN⊥KL, тобто відрізок AN перпендикулярний до прямої KL.
Перпендикуляр коротше всіх інших відрізків, проведених з даної точки до прямої.
AN<AK,AN<AL,AN<AМ.
Якщо проведено перпендикуляр до серединної точки відрізка, то його називають серединним перпендикуляром цього відрізка.
На малюнку EC — серединний перпендикуляр відрізка AB.
Відстань EC від точки E є найкоротшою відстанню до відрізка AB, а відстані до точок A і B є рівними.
Кожна точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка.
Домашнє завдання :параграф 43 опрацювати виконати вправи : 1213,1214
Рівнянням називається рівність, що містить невідоме, значення якого треба знайти.
Невідоме число в рівнянні позначають буквою х, або у, або z тощо. Наприклад, запис 4х + 7 = 15 є рівнянням, де х – невідоме і є шуканим.
Значення невідомого, за якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називається коренем рівняння.
Рівняння може мати більше, ніж один корінь.
Рівняння може не мати коренів
Розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або встановити, що рівняння не має жодного кореня.
Запам’ятайте!
Якщо до обох частин рівності додати (від обох частин рівності відняти) одне й те саме число, то рівність не зміниться.
Запам’ятайте!
Доданок можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданка на протилежний.
Запам’ятайте! Якщо обидві частини рівності помножити (поділити) на одно й то само число, відмінно від нуля, то рівність не зміниться.
Запам’ятайте!
Основні властивості рівнянь
1. Корені рівняння не зміняться, якщо до обох частин рівняння додати (від обох частин рівняння відняти) одне й те саме число.
2. Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Алгоритм розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною:
1) Перевір, чи не треба помножити (поділити) обидві частини рівняння на одне й те саме число, що не дорівнює 0. Якщо так, виконай цю дію.
2) Перевір, чи не можна спростити вирази в лівій та правій частинах рівняння окремо (розкрити дужки, звести подібні доданки). Якщо так, спрости ці вирази.
3) Перевір, чи не знаходяться відомі та невідомі доданки в різних частинах рівняння. Якщо так, то перенеси доданки, щоб відомі числа знаходились в одній частині рівняння, а невідомі – в іншій.
4) Приведи рівняння до вигляду ах = b, де а і b – числа, а х – невідомий множник, і знайди цей невідомий множник.
Самостійно Заповніть пропуски
(134+x)-583=426;
134+x=426…583;
134+x=1009
x=1009…134;
x=...
(134+875)-583=426.
2) (x-506)+215= 429;
x-506=429 … 215;
x-506=214;
x=214 … 506;
x=… ;
(720-506)+215=426.
3) (942-a)-126=254;
942-a=254 … 126;
942-a=380;
a=942 …380;
a= …;
(942-562)-126=254.
Щоб розв’язати текстову задачу за допомогою рівнянь треба побудувати математичну модель.
Алгоритм розв’язання задач за допомогою рівнянь
Декілька разів прочитати і вивчити умову задачі.
Зробити скорочений запис або умову задачі
Позначити за Х одну з невідомих величин
Виразити всі інші невідомі величини через Х
Скласти рівняння
Розв’язати це рівняння (корені рівняння)
Записати відповідь задач
Пам’ятка до розв’язування задач
На … більше
На … менше
На скільки більше (менше)
У …разів більше
У …разів менше
У скільки разів більше (менше)
Додаємо
Віднімаємо
Завжди віднімаємо
множимо
ділимо
Завжди ділимо
Домашнє завдання :параграф 41,42 повторити виконати вправи
Задача 1
На фабриці потрібно пошити 150 суконь. Перша майстриня може виконати це завдання за 30 днів. За скільки днів друга майстриня може виконати це завдання, якщо за день вона шиє на 2 сукні менше, ніж перша?
Задача 2
Скільки буде коштувати придбати чотири вікна фірми Veka( разом з установкою),якщо відомо, що три вікна коштують ( разом з установкою) 7800 гривень. Установка - 100 грн за одне вікно.
Задача 3
Дріт завдовжки 465 м розрізали на три частини, причому перша части на у 4 рази довша за третю, а друга на 114 м довша за першу. Знайдіть довжину кожної частини дроту
Задача 4
Бригада робітників за два тижні виготовила 396 деталей, причому за другий тиждень було виготовлено у 3 рази більше деталей, ніж за перший. Скільки деталей було виготовлено за кожний тиждень?
Дата 18.04
Tема : "Контрольна робота з теми: «Рівняння. Розв’язування рівнянь з однією змінною»"
Задача. У першому бідоні в 3 рази більше молока, ніж у другому. Якщо з першого перелити 20 л в другій, то молока в бідонах буде порівну. Скільки молока в кожному бідоні?
- Що відомо про перший бідоні? Про другий?
- Які зміни можна провести з молоком в цих бідонах?
- У результаті переливань скільки молока стане в кожному бідоні?
- Що треба дізнатися?
- Вирішувати завдання будемо з допомогою рівнянь.
Розв’язування. (Запис на дошці і в зошитах )
Нехай x л - молока у другому бідоні, 3x (л) - молока було в першому бідоні, 3x-20 (л) - молока залишиться в першому бідоні, x + 20 (л) - молока стане у другому бідоні. Відомо, що молока в бідонах стане порівну. Складемо рівняння:
3x – 20 = x + 20,
3x – x = 20 + 20,
2x = 40,
x = 20.
Отже, 20 літрів молока було в другому бідоні, тоді в першому 20 * 3 = 60 літрів молока.
Відповідь: 20 літрів молока, 60 літрів молока
Задача
Різниця двох чисел дорівнює 2,2. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 22, 2.
Розв’язання:
Нехай x– перше число, тоді х+2,2 – друге число. З умови задачі маємо рівняння:
х+х+2,2=22,2;
2х+2,2=22,2;
2х=22,2-2,2;
2х=20;
х = 20:2;
х=10.
Отже, 10 – перше число. Тоді х+2,2 = 10+2,2=12,2 – друге число.
Відповідь: 10; 12,2.
Задача
За 6 зошитів і 4 ручки заплатили 27 грн. Скільки коштує зошит і скільки - ручка, якщо зошит дешевший від ручки на 50 коп.?
Розв’язання:
Нехай x – коштує зошит, тоді ручка коштує –(х+0,5). З умови задачі маємо рівняння:
6х+4*(х+0,5)=27;
6х+4х+2=27;
10х=27-2;
10х=25;
х = 25:10;
х =
Отже, 2, 5 грн. – коштує зошит. Тоді х+0,5=2,5+0,5=3 (грн.) – коштує ручка.
Відповідь: 2,5грн.; 3 грн.
Домашнє завдання :параграф 41,42 повторити,№ 1183 ,1187
Дата 13.04
Tема : "Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь.Самостійна робота"
Вміння розв'язувати рівняння необхідне для того, щоб розв'язувати практичні завдання з математики, фізики, механіки, економіки та інших предметів.
Приклад:
Розв'яжемо задачу
В одному бідоні втричі більше молока, ніж в іншому. Коли з одного бідона до іншого перелили 5 літрів, то молока в бідонах стало порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?
Розв'язання
Спочатку введемо змінну, за допомогою якої позначимо невідому нам величину, яку необхідно знайти за умовою задачі. Це перший етап розв'язання.
Нехай xл — кількість молока, яка була до переливання в другому бідоні.
Тоді в першому бідоні його було 3xл.
Після переливання в першому бідоні залишилося (3x–5)л молока, а в другому стало (x+5)л.
За умовою задачі відомо, що після переливання в обох бідонах молока стало порівну.
Складемо рівняння:
3x–5=x+5
Цю частину міркувань під час розв'язання задач називають складанням математичної моделі.
На цьому етапі текст завдання перекладається зі звичайної мови на математичну.
Математичною моделлю є складене рівняння.
Потім починається другий етап, який називають роботою з математичною моделлю.
На цьому етапі розв'язується складене рівняння:
3x−5=x+53x−x=5+52x=10x=5
Розв'язавши рівняння, переходимо до третього етапу — відповіді на запитання задачі.
Розв'язавши рівняння, ми отримали x=5, а за x прийняли кількість молока в літрах, яке було до переливання в другому бідоні.
Отже, в другому бідоні було 5л молока. За умовою задачі, в першому бідоні було втричі більше молока, ніж у другому. Тож у першому бідоні було 15л молока.
Відповідь: в одному бідоні було 5л молока, а в іншому — 15л.
Отже, в процесі розв'язання було виокремлено три етапи математичного моделювання:
1) складання математичної моделі (складання рівняння за умовою задачі);
2) робота з математичною моделлю (розв'язання рівняння);
3) відповідь на запитання задачі.
Для складання математичної моделі потрібно провести аналіз завдання, результати якого можна оформити у вигляді таблиці, схеми, малюнка, короткого запису.
Домашнє завдання :параграф 42 опрацювати,№ 1169,1171
Завдання на період з 04.04 по 07.04 2022 року
Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.
Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.
Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com
Завдання відправляти до кінця кожного тижня.
Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер : 0960813579
Рівнянням називається рівність, що містить невідоме, значення якого треба знайти.
Невідоме число в рівнянні позначають буквою х, або у, або z тощо. Наприклад, запис 4х + 7 = 15 є рівнянням, де х – невідоме і є шуканим.
Значення невідомого, за якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називається коренем рівняння.
Рівняння може мати більше, ніж один корінь.
Рівняння може не мати коренів
Розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або встановити, що рівняння не має жодного кореня.
Запам’ятайте!
Якщо до обох частин рівності додати (від обох частин рівності відняти) одне й те саме число, то рівність не зміниться.
Запам’ятайте! Доданок можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданка на протилежний.
Запам’ятайте! Якщо обидві частини рівності помножити (поділити) на одно й то само число, відмінно від нуля, то рівність не зміниться.
Запам’ятайте!
Основні властивості рівнянь
1. Корені рівняння не зміняться, якщо до обох частин рівняння додати (від обох частин рівняння відняти) одне й те саме число.
2. Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Алгоритм розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною:
1) Перевір, чи не треба помножити (поділити) обидві частини рівняння на одне й те саме число, що не дорівнює 0. Якщо так, виконай цю дію.
2) Перевір, чи не можна спростити вирази в лівій та правій частинах рівняння окремо (розкрити дужки, звести подібні доданки). Якщо так, спрости ці вирази.
3) Перевір, чи не знаходяться відомі та невідомі доданки в різних частинах рівняння. Якщо так, то перенеси доданки, щоб відомі числа знаходились в одній частині рівняння, а невідомі – в іншій.
4) Приведи рівняння до вигляду ах = b, де а і b – числа, а х – невідомий множник, і знайди цей невідомий множник.
Щоб розв’язати текстову задачу за допомогою рівнянь треба побудувати математичну модель.
Алгоритм розв’язання задач за допомогою рівнянь
Декілька разів прочитати і вивчити умову задачі.
Зробити скорочений запис або умову задачі
Позначити за Х одну з невідомих величин
Виразити всі інші невідомі величини через Х
Скласти рівняння
Розв’язати це рівняння (корені рівняння)
Записати відповідь задач
Пам’ятка до розв’язування задач
На … більше
На … менше
На скільки більше (менше)
У …разів більше
У …разів менше
У скільки разів більше (менше)
Додаємо
Віднімаємо
Завжди віднімаємо
множимо
ділимо
Завжди ділимо
Домашнє завдання :параграф 41 повторити, № 1145,1147
Рівняння — це рівність, що містить позначене буквою невідоме число, яке потрібно знайти. Наприклад: х+5=7; 3(х-5)=18; 2,3х-5=7-0,1х.
Корінь рівняння — це значення невідомого , яке перетворює рівняння на правильну рівність.
Наприклад: х=5 - корінь рівняння 2,3х-5=7-0,1х , оскільки при підстановки цього числа замість змінної х, воно перетворює рівність на правильну числову рівність, тобто :
2,3⋅5−5=7−0,1⋅5;6,5=6,5.
Розв'язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести , що коренів немає.
Основні властивості рівнянь:
1.Якщо будь - який доданок перенести з однієї частини рівняння до іншої , змінивши при цьому його знак на протилежний то отримаємо рівняння , яке має ті самі корені , що й дане.
2.Якщо обидві частини рівняння помножити ( поділити ) на одне й те саме , відмінне від нуля число , то отримаємо рівняння , яке має ті самі корені , що й дане.
Приклад:
3x−12=6
Для визначення невідомого зменшуваного потрібно до різниці додати від'ємник:
3x=6+123x=18
Для визначення невідомого множника добуток потрібно поділити на відомий множник:
x=18:3
х=6
Приклад:
2x−12=6−x
Розв'язуючи рівняння, можна міркувати й інакше.
Тут ми маємо рівність двох виразів, отже, їх різниця дорівнює нулю:
(2x−12)−(6−x)=0
Розкриємо дужки та спростимо вираз у лівій частині рівняння:
2x−12−6+x=0
3x−18=0
3x=18
x=6
Відповідь: 6.
Можна помітити, що:
Для розв'язання рівняння потрібно послідовно виконувати наступні дії:
1) спростити рівняння ( розкрити дужки , звести подібні доданки) ;
2) доданки, що містять змінну, перенести в ліву частину рівняння, а числа — у праву частину, не забуваючи при перенесенні змінювати знаки на протилежні;
3) звести подібні доданки в лівій і правій частинах рівняння;
4) знайти корінь рівняння;
5) за потреби зробити перевірку;
6) записати відповідь.
У розглянутих прикладах рівняння зводилися до вигляду ax=b, де a≠0.
Рівняння, що можна звести до такого вигляду за допомогою перенесення доданків і зведення подібних доданків, називається лінійним рівнянням із одним невідомим.
Домашнє завдання :параграф 41 опрацювати, № 1139
Завдання на період з 28.03 по 31.03 2022 року
Написати прізвище на кожній сторінці з виконаним завданням.
Сфотографувати кожну сторінку з виконаним завданням.
Відправити сфотографовану сторінку на вайбер або ел.пошту mosienko13.06@gmail.com
Завдання відправляти до кінця кожного тижня.
Запитання відсилати на вказану адресу або в вайбер : 0960813579
Дата 31.03Tема : "Корекція знань, умінь і навичок"
Дата 23.03Тема : "Розвязування вправ.Самостійна робота"
Часткою двох від’ємних чисел є число додатне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника. Часткою двох чисел із різними знаками є число від’ємне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника. Для будь-якого числа а:
Добуток декількох множників, відмінних від нуля, - число від'ємне, якщо число від'ємних множників непарне, а якщо число від'ємних множників парне, то добуток - число додатне. Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю.
Для того, щоб виконати додавання чи віднімання дробів з різними знаменниками, треба звести дроби до спільного знаменника та виконати дію (додавання чи віднімання) із дробами, у яких знаменники однакові.
1. Обчисли 45+110. Найменший спільний знаменник дорівнює 10. Замінимо перший дріб на дріб йому рівний — 810, оскільки 4(25=4⋅25⋅2=810.
Число 2, записане над дробом, називають додатковим множником.
Тепер додамо дроби з однаковими знаменниками: 810+110=910.
Відповідь: 4(25+110=810+110=8+110=910.
2. Обчисли 23−47.
2(73−4(37=1421−1221=14−1221=221.
Домашнє завдання : параграф 10 опрацювати , № 270,272
Дата 05.10Тема : "Порівняння звичайних дробів"
Опрацювати матеріал :
Серед двох дробів з однаковими знаменниками більший той дріб ,чисельник якого більше. Серед двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, знаменник якого менше.
Як порівняти дроби, у яких і чисельники і знаменники різні?
У таких випадках застосовують основну властивість дробу.
Порівняймо 415 і 56.
1 спосіб. Зведення дробів до спільного знаменника.
Найменший спільний знаменник даних дробів — 30.
Зведемо дроби до спільного знаменника 30.
415=4⋅215⋅2=83056=5⋅56⋅5=2530
Порівняємо отримані дроби:
830<2530(25>8), тому 415<56.
Щоб порівняти дроби з різними знаменниками , слід звести їх до спільного знаменника і порівняти їх чисельники. Дріб з більшим чисельником буде більшим.
2 спосіб. Зведення дробів до спільного чисельника.
Найменший спільний чисельник даних дробів — 20.
Помножимо чисельник і знаменник першого дробу на 5, а чисельник і знаменник другого – на 4:
415=4⋅515⋅5=207556=5⋅46⋅4=2024.
Порівняємо отримані дроби:
2075<2024(75>24), тому 415<56.
Щоб порівняти дроби з різними чисельниками , можна звести їх до спільного чисельника і порівняти їх знаменники. Дріб з меншим знаменником буде більшим.
Зверни увагу!
Зводимо до однакового чисельника у тому випадку, коли знаменники дробів великі.
Домашнє завдання : параграф 9 , №242,246
Дата 04.10Тема : "Зведення звичайних дробів до НСЗ"
За допомогою основної властивості дробів можна замінити даний дріб іншим, рівним даному, але з меншим чисельником і знаменником. Така заміна називається скороченням дробу.
4
=
2
=
1
20
10
5
Означення.
Щоб скоротити дріб mn потрібно знайти найбільший спільний дільник його чисельника і знаменника: НСД(m,n), після чого поділити чисельник і знаменник дробу на це число. Якщо НСД(m,n)=1, то дріб скоротити неможливо.
Основна властивість дробу: якщо знаменник і чисельник звичайного дробу помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля, то значення отриманого дробу буде дорівнювати даному. Ділення чисельника і знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називається скороченням дробу.
Домашнє завдання : Параграф 7 опрацювати , № 188,190
Дата 27.09Тема : "Корекція знань,умінь і навичок"
Опрацювати матеріал :
Ознаки подільності на 2
Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною.
Наприклад:
2, 8, 16, 24, 66, 150 — діляться на 2, так як остання цифра цих чисел парна;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не діляться на 2, так яка остання цифра цих чисел непарна.
Ознаки подільності на 3
Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.
Наприклад:
75 — ділиться на 3, так як 7+5=12, і число 12 ділиться на 3 (12:3=4);
471 — ділиться на 3, так як 4+7+1=12, і число 12 ділиться на 3 (12:3=4);
532 — не ділиться на 3, так як 5+3+2=10, а число 10 не ділиться на 3 (10:3=313).
Ознаки подільності на 4
Число ділиться на 4 тоді и тільки тоді, коли дві його останні цифри складають число, яке ділиться на 4. Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць ділиться на 4.
Наприклад:
4576 — ділиться на 4, так як число 76 ділиться на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);
9634 — не ділиться на 4, так як число 34 не ділиться на 4 (3·2+4=10, 10:4=212).
Ознаки подільності на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює 0 або 5.
Наприклад:
375, 5680, 233575 — діляться на 5, так як їх остання цифра дорівнює 0 або 5;
9634, 452, 389753 — не діляться на 5, так як їх остання цифра не дорівнює 0 або 5.
Ознаки подільності на 6
Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3.
Наприклад:
462 — ділиться на 6, за ознакою подільності на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 2 ділиться на 2), за ознакою подільності на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);
3456 — ділиться на 6, за ознакою подільності на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 6 ділиться на 2), за ознакою подільності на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);
24642 — ділиться на 6, за ознакою подільності на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 2 ділиться на 2), за ознакою подільності на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);
861 — не ділиться на 6, так як за ознакою подільності воно не ділиться на 2;
3458 — не ділиться на 6, так як за ознакою подільності воно не ділиться на 3;
34681 — не ділиться на 6, так як за ознакою подільності воно не ділиться на 2.
Ознаки подільності на 9
Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.
Наприклад:
468, 4788, 69759 — діляться на 9, так як сума їх цифр ділиться на дев'ять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не діляться на 9, так як сума їх цифр не ділиться на дев'ять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Ознаки подільності на 10
Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.
Наприклад:
460, 24000, 1245464570 — діляться на 10, так як остання цифра цих чисел дорівнює нулю;
234, 25048, 1230000003 — не діляться на 10, так як остання цифра цих чисел не дорівнює нулю.
Домашнє завдання : Параграф 1-6 повторити,виконати вправи :
1. Розкласти на прості множники число 624.
2. Знайти : а) НСД(144;192); б) НСК( 16;12).
3 . Для подарунків дітям придбали 160 яблук, 240 цукерок і 320 горіхів. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна виготовити, і по скільки яблук, цукерок і горіхів буде в кожному подарунку?
Система координат
Прямі, які перетинаються - прямі, які мають спільну точку. Цю точку називають точкою перетину.Якщо прямі лежать на одній площині й не перетинаються, то їх називають паралельними.Назва походить від грецького слова «паралелос» (παράλληλος), що означає «йдуть поруч». Чому у визначенні дуже важливо вказати, що ми говоримо про прямі, які лежать на одній площині? Тому що в тому випадку, коли прямі не лежать на одній площині, вони можуть не перетинатися й не бути паралельними, тобто не йти поруч. 
Цікавий приклад отримуємо, розглядаючи прямі на поверхні кулі (не на площині). Якщо куля досить велика, то в певній точці прямі можуть бути паралельними, але насправді вони перетинаються в точках, які називаються полюсами кулі. 
Але для прямих, що лежать на одній площині, правильним є те, що точки перетину немає.
Позначення паралельних прямих: AB || CD
Це записують 
Відстань 
;
;
;
;;
:
;
;. 
;
;
;
;
.
Адміністратор блогу видалив цей коментар.
ВідповістиВидалити